洗牌，显然是一个随机算法了。随机算法还不简单？随机呗。把所有牌放到一个数组中，每次取两张牌交换位置，随机 k 次即可。
如果你的答案是这样，通常面试官会进一步问一下，k 应该取多少？100？1000？10000？
很显然，取一个固定的值不合理。如果数组中有 1000000 个元素，随机 100 次太少；如果数组中只有 10 个元素，随机 10000 次又太多。一个合理的选择是，随机次数和数组中元素大小相关。比如数组有多少个元素，我们就随机多少次。
这个答案已经好很多了。但其实，连这个问题的本质都没有触及到。此时，面试官一定会狡黠地一笑：这个算法公平吗？
我们再看问题：设计一个公平的洗牌算法。
如何公平洗牌
思路一
洗牌的结果是所有元素的一个排列。一副牌如果有 n 个元素，最终排列的可能性一共有 n! 个。公平的洗牌算法，应该能等概率地给出这 n! 个结果中的任意一个。
如思考虑到这一点，我们就能设计出一个简单的暴力算法了：对于 n 个元素，生成所有的 n! 个排列，然后，随机抽一个。
这个算法绝对是公平的。但问题是，复杂度太高。复杂度是多少呢？O (n!)。因为，n 个元素一共有 n! 种排列，我们求出所有 n! 种排列，至少需要 n! 的时间。
思路二
我们再换一个角度思考 “公平” 这个话题。其实，我们也可以认为，公平是指，对于生成的排列，每一个元素都能独立等概率地出现在每一个位置。或者反过来，每一个位置都能独立等概率地放置每个元素。
基于这个定义，我们就可以给出一个简单的算法了。说这个算法简单，是因为他的逻辑太容易了，就一个循环：
for(int i = n - 1; i >= 0 ; i -- )
swap(arr[i], arr[rand(0, i)]) // rand(0, i) 生成 [0, i] 之间的随机整数
这么简单的一个算法，对于生成的排列，每一个元素都能独立等概率的出现在每一个位置。或者反过来，每一个位置都能独立等概率的放置每个元素。
i 从后向前，每次随机一个 [0…i] 之间的下标，然后将 arr [i] 和这个随机的下标元素，也就是 arr [rand (0， i)] 交换位置。
需要注意，由于每次是随机一个 [0…i] 之间的下标，所以，在每一轮，是可以自己和自己交换的。
这个算法就是大名鼎鼎的 Knuth-Shuffle，即 Knuth 洗牌算法。
理解算法
简单的只是用 5 个数字进行模拟。假设初始的时候，是按照 1，2，3，4，5 进行排列的。
那么，根据这个算法，首先会在这五个元素中选一个元素，和最后一个元素 5 交换位置。假设随机出了 2。
下面，计算 2 出现在最后一个位置的概率是多少？非常简单，因为是从 5 个元素中选的嘛，就是 1/5。实际上，根据这一步，任意一个元素出现在最后一个位置的概率，都是 1/5。
下面，根据这个算法，就已经不用管 2 了，而是在前面 4 个元素中，随机一个元素，放在倒数第二的位置。假设我们随机的是 3。3 和现在倒数第二个位置的元素 4 交换位置。
下面的计算非常重要。3 出现在这个位置的概率是多少？计算方式是这样的：
其实很简单，因为 3 逃出了第一轮的筛选，概率是 4/5，但是 3 没有逃过这一轮的选择。在这一轮，一共有 4 个元素，所以 3 被选中的概率是 1/4。因此，最终，3 出现在这个倒数第二的位置，概率是 4/5 * 1/4 = 1/5。
还是 1/5 !
实际上，用这个方法计算，任意一个元素出现在这个倒数第二位置的概率，都是 1/5。
相信聪明的同学已经了解了。我们再进行下一步，在剩下的三个元素中随机一个元素，放在中间的位置。假设我们随机的是 1
关键是：1 出现在这个位置的概率是多少？计算方式是这样的：
即 1 首先在第一轮没被选中，概率是 4/5，在第二轮又没被选中，概率是 3/4 ，但是在第三轮被选中了，概率是 1/3。乘在一起，4/5 3/4 1/3 = 1/5。
用这个方法计算，任意一个元素出现在中间位置的概率，都是 1/5。
这个过程继续，现在，我们只剩下两个元素了，在剩下的两个元素中，随机选一个，比如是 4。将 4 放到第二个位置
然后，4 出现在这个位置的概率是多少？4 首先在第一轮没被选中，概率是 4/5；在第二轮又没被选中，概率是 3/4；第三轮还没选中，概率是 2/3，但是在第四轮被选中了，概率是 1/2。乘在一起，4/5 3/4 2/3 * 1/2 = 1/5。
用这个方法计算，任意一个元素出现在第二个位置的概率，都是 1/5。
最后，就剩下元素 5 了。它只能在第一个位置呆着了。
那么 5 留在第一个位置的概率是多少？即在前 4 轮，5 都没有选中的概率是多少？
在第一轮没被选中，概率是 4/5；在第二轮又没被选中，概率是 3/4；第三轮还没选中，概率是 2/3，在第四轮依然没有被选中，概率是 1/2。乘在一起，4/5 3/4 2/3 * 1/2 = 1/5。
算法结束。在整个过程中，每一个元素出现在每一个位置的概率，都是 1/5 ！所以，这个算法是公平的。
当然了，上面只是举例子。这个证明可以很容易地拓展到数组元素个数为 n 的任意数组。整个算法的复杂度是 O (n) 的。
转载说明
有哪些算法惊艳到了你？ - 刘宇波的回答 - 知乎
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